第665章 困擾數學家25年的「切蘋果」難題
請聽題：如何將蘋果平均一分為二，還能保證它長時間的新鮮？
這是一個嚴肅的科學問題，已經困擾了人類數學家25年之久。
根據常識，就是要保證果肉暴露在外面的面積最小，也就是切片的面積最小。
如果跨越到更高的維度，是否依然成立？
這就是1995年，由三位數學家提出的一個幾何學猜想。
1984年，著名數學家讓·布爾甘提出了一個猜想。
一個任意維度的凸體，用低一維的平面去平分，那麼存在一個常數c，讓凸體至少存在一個切面的面積大於c。
換句話說，如果你一刀平分「任意維度空間的西瓜」，隨便你怎麼劈，總有一個切面總大於c。
在3維空間中，這個結論似乎很好理解，因為無論西瓜長成什麼奇形怪狀，總不可能在每個角度都細長。像長形的西瓜，豎直切下去，切面很小，可以你也可以水平切開平分它，這樣切面就會很大。
但在3維世界中正確的事情，到了高維空間卻不一定成立。這個問題後來被布爾甘自己證明，但數學家們並不滿足於用平面切西瓜，而是希望能找到一個更小的切面，它可以是曲面。而這恰好是1995年Kannan、Lovász和Simonovits三人提出的KLS猜想關心的問題：用來平分的最小曲面面積是多少？
以二維空間里的一個三角形為例。這個最小的「曲面」是一段圓弧。用圓弧來平分一個三角形，中間的線長度最短，而最佳「平面」——直線——的效果略差。
如何用最小「切面」平分三角形。
到了更高維度的空間中，二等分的最佳平面和最佳曲面差距會變大嗎？切面的面積是否和維度d有關？
這個問題已經不再是純粹的數學問題。普林斯頓大學數學系教授AssafNaor表示，KLS猜想在純粹的數學和理論計算機科學中都很重要。KLS猜想的結果，直接關係到隨機行走演算法的運行時間，如機器學習模型中採樣問題。·所以最後解決這個幾何問題的學者，都並非幾何學的專家，而是來自計算機界。
用統計方法解決問題
經過數學家的抽象，KLS猜想就像一個封裝著氣體的容器，找到最佳切面就是尋找容器的「瓶頸」。
想象一個啞鈴形狀的容器，裡面有一個氣體分子在隨機運動，啞鈴中間連接部分越細，分子就越難跑到另一側
現在人們想知道，在高維空間，這個凸的容器最細的地方有多細。
2012年，Eldan通過引入一種稱為隨機定位的技術，來降低這個問題與維度上界。
2015年末，華盛頓大學的Vempala和YinTatLee改進了Eldan的隨機定位，以進一步將KLS因子（用於描述瓶頸是否存在）降低到維度的四次根d1/4。
KLS猜想的上界不斷降低。
甚至，他們還將冪指數降低到幾乎為0，由於d的0次冪總是等於1，Lee和Vempala似乎證明了KLS因子是一個與維度無關的常數。
他們在arXiv上發布了他們的論文。但是幾天後，這篇文章就被人發現了一個缺陷，他們關於d0的證明是錯的。之後，二人修改了文章，把界限重新調整到d1/4。幾年來，研究人員認為KLS猜想的探索已經到此終結了。
不過他們還在論文中，保留了d0證明的一些想法。這也為後來的突破埋下伏筆
他們的論文引起了另一位統計學者YuansiChen的注意。Chen當時是加州大學伯克利分校的統計學研究生，他正在研究隨機採樣方法的混合率。而隨機採樣是許多類型統計推斷中的關鍵，例如貝葉斯統計。
Chen深入研究文獻，花了數周時間試圖填補Lee和Vempala的證明中的空白，但依然沒有解決。於是他轉變了思路，在Lee和Vempala的思想指導下，他找到了一種方法，採用遞歸來降低KLS因子上界。
經過反覆迭代，這種方法將KLS猜想問題再次拉回到d0的上界。這一結果意味著，高維凸形物體不會有啞鈴那樣的結構。在n維凸體中隨機行走，遍歷整個圖形的速度比我們之前預想得要快得多。這將有助於計算機科學家對不同的隨機採樣演算法進行優先順序排序。
三個計算機相關的科學家
首先，直接與研究相關的這位統計學博士后——YuansiChen（陳遠思，音譯）。今年年初，他開始在杜克大學統計科學系擔任助理教授的職位。主要研究方向是統計機器學習、優化以及在神經科學中的應用，尤其對其中域適應性、穩定性、MCMC採樣演算法、卷積神經網路和計算神經科學中出現的統計問題感興趣。
而啟發YuansiChen數學靈感的，是兩位計算機科學家，YinTatLee和SantoshS.Vempala。
YinTatLee，的研究方向主要在演算法方面，包括凸優化、凸幾何、譜圖理論和在線演算法等廣泛的課題。
以往的研究里，他曾結合連續數學和離散數學的思想，大幅提升了在計算機科學和優化中許多基本問題的演算法，比如線性編程和最大流量問題。
但他的方法很容易被驗證。早期研究過KLS猜想的以色列數學家BoázKlartag，就在第一時間看了論文。他表示：「我基本上立即停止了我正在做的一切事情，並檢查了這篇論文。這篇論文是100%正確的，這一點毫無疑問。」
這是一個非常重要的突破，加速了對近似凸體體積的研究。
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