63.感慨
張藝涵看完后不禁感慨，愛因斯坦的故事原來這麼神奇，以前他還沒了解多少。
隨後就是牛頓。
艾薩克·牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英國皇家學會會長，英國著名的物理學家，百科全書式的「全才」，著有《自然哲學的數學原理》、《光學》。
他在1687年發表的論文《自然定律》里，對萬有引力和三大運動定律進行了描述。這些描述奠定了此後三個世紀里物理世界的科學觀點，並成為了現代工程學的基礎。他通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然定律；為太陽中心說提供了強有力的理論支持，並推動了科學革命。
在力學上，牛頓闡明了動量和角動量守恆的原理，提出牛頓運動定律。在光學上，他發明了反射望遠鏡，並基於對三稜鏡將白光發散成可見光譜的觀察，發展出了顏色理論。他還系統地表述了冷卻定律，並研究了音速。
在數學上，牛頓與戈特弗里德·威廉·萊布尼茨分享了發展出微積分學的榮譽。他也證明了廣義二項式定理，提出了「牛頓法」以趨近函數的零點，並為冪級數的研究做出了貢獻。
在經濟學上，牛頓提出金本位制度。
1643年1月4日，艾薩克·牛頓出生於英格蘭林肯郡鄉下的一個小村落伍爾索普村的伍爾索普（Woolstho
pe）莊園。在牛頓出生之時，英格蘭並沒有採用教皇的最新曆法，因此他的生日被記載為1642年的聖誕節。牛頓出生前三個月，他同樣名為艾薩克的父親才剛去世。由於早產的緣故，新生的牛頓十分瘦小；據傳聞，他的母親漢娜·艾斯庫（Ha
ahAyscough）曾說過，牛頓剛出生時小得可以把他裝進一夸脫的馬克杯中。當牛頓3歲時，他的母親改嫁並住進了新丈夫巴納巴斯·史密斯（Ba
abusSmith）牧師的家，而把牛頓託付給了他的外祖母瑪傑里·艾斯庫（Ma
ge
yAyscough）。年幼的牛頓不喜歡他的繼父，並因母親改嫁的事而對母親持有一些敵意，牛頓甚至曾經寫下：「威脅我的繼父與生母，要把他們連同房子一齊燒掉。」
1648年，牛頓被送去讀書。少年時的牛頓並不是神童，他成績一般，但他喜歡讀書，喜歡看一些介紹各種簡單機械模型製作方法的讀物，並從中受到啟發，自己動手製作些奇奇怪怪的小玩意，如風車、木鐘、摺疊式提燈等等。
傳說小牛頓把風車的機械原理摸透后，自己製造了一架磨坊的模型，他將老鼠綁在一架有輪子的踏車上，然後在輪子的前面放上一粒玉米，剛好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不斷地跑動，於是輪子不停地轉動；又一次他放風箏時，在繩子上懸挂著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現；他還製造了一個小水鍾。每天早晨，小水鍾會自動滴水到他的臉上，催他起床。他還喜歡繪畫、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家裡牆角、窗台上到處安放著他刻畫的日晷，用以驗看日影的移動。
1654年，牛頓進了離家有十幾公里九龍的金格斯皇家中學讀書。牛頓的母親原希望他成為一個農民，但牛頓本人卻無意於此，而酷愛讀書。隨著年歲的增大，牛頓越發愛好讀書，喜歡沉思，做科學小實驗。他在金格斯皇家中學讀書時，曾經寄宿在一位藥劑師家裡，使他受到了化學試驗的熏陶。
牛頓在中學時代學習成績很出眾，愛好讀書，對自然現象有好奇心，例如顏色、日影四季的移動，尤其是幾何學、哥白尼的日心說等等。他還分門別類的記讀書筆記，又喜歡別出心裁地做些小工具、小技巧、小發明、小試驗。
當時英國社會滲透基督教新思想，牛頓家裡有兩位都以神父為職業的親戚，這可能是牛頓晚年的宗教生活所受的影響。僅從這些平凡的環境和活動中，還看不出幼年的牛頓是個才能出眾異於常人的兒童。
後來迫於生活困難，母親讓牛頓停學在家務農，贍養家庭。但牛頓一有機會便埋首書卷，以至經常忘了幹活。每次，母親叫他同傭人一道上市場，熟悉做交易的生意經時，他便懇求傭人一個人上街，自己則躲在樹叢后看書。有一次，牛頓的舅父起了疑心，就跟蹤牛頓上市鎮去，發現他的外甥牛頓伸著腿，躺在草地上，正在聚精會神地鑽研一個數學問題。牛頓的好學精神感動了舅父，於是舅父勸服了母親讓牛頓復學，並鼓勵牛頓上大學讀書。牛頓又重新回到了學校，如饑似渴地汲取著書本上的營養。
據《大數學家》（Me
ofMathematics，E·T·貝爾（E.T.Bell）著）和《數學史介紹》（A
i
t
oductio
tothehisto
yofmathematics，H·伊夫斯（H.Eves）著）兩書記載：「牛頓在鄉村學校開始學校教育的生活，後來被送到了格蘭瑟姆的國王中學，並成為了該校最出色的學生。在國王中學時，他寄宿在當地的藥劑師威廉·克拉克（WilliamCla
ke）家中，並在19歲前往劍橋大學求學前，與藥劑師的繼女安妮·斯托勒（A
eSto
e
）訂婚。之後因為牛頓專註於他的研究而使得愛情冷卻，斯托勒小姐嫁給了別人。據說牛頓對這次的戀情保有一段美好的回憶，但此後便再也沒有其他的羅曼史，牛頓也終生未娶。」
不過據和牛頓同時代的友人威廉·斯蒂克利（WilliamStukeley）所著的《艾薩克·牛頓爵士生平回憶錄》（Memoi
sofSi
IsaacNewto
'sLife）一書的描述，斯蒂克利在牛頓死後曾訪問過文森特（Vi
ce
t）夫人，也就是當年牛頓的戀人斯托勒小姐。文森特夫人的名字叫作凱瑟琳，而不是安妮，安妮是她的妹妹（參見A
thu
Sto
e
），而且夫人僅表示牛頓當年寄宿時對她只不過是「懷有情愫」的程度而已。
從12歲左右到17歲，牛頓都在金格斯皇家中學學習，在該校圖書館的窗台上還可以看見他當年的簽名。他曾從學校退學，並在1659年10月回到埃爾斯索普村，因為他再度守寡的母親想讓牛頓當一名農夫。牛頓雖然順從了母親的意思，但據牛頓的同儕後來的敘述，耕作工作讓牛頓相當不快樂。所幸金格斯皇家中學的校長亨利·斯托克斯（He
yStokes）說服了牛頓的母親，牛頓又被送回了學校以完成他的學業。他在18歲時完成了中學的學業，並得到了一份完美的畢業報告。
1661年6月3日，他進入了劍橋大學的三一學院。在那時，該學院的教學基於亞里士多德的學說，但牛頓更喜歡閱讀一些笛卡爾等現代哲學家以及伽利略、哥白尼和開普勒等天文學家更先進的思想。1665年，他發現了廣義二項式定理，並開始發展一套新的數學理論，也就是後來為世人所熟知的微積分學。在1665年，牛頓獲得了學位，而大學為了預防倫敦大瘟疫而關閉了。在此後兩年裡，牛頓在家中繼續研究微積分學、光學和萬有引力定律。
1669年，被授予盧卡斯數學教授席位。
1689年，他當選為國會議員。牛頓在1689年到1690年和1701年是皇家科學院的成員，在1703年成為皇家學會會長，並任職24年之久，在歷任會長中僅次於約瑟夫·班克斯，同時也是法國科學院的會員。
1696年，牛頓通過了當時的財政大臣查爾斯·孟塔古的提攜遷到了倫敦作皇家鑄幣廠的監管，一直到去世。他主持了英國最大的貨幣重鑄工作，此職位一般都是閑職，但牛頓卻非常認真的對待。身為皇家鑄幣廠的主管官員，牛頓估計大約有20%的硬幣是偽造的。為那些惡名昭著的罪犯定罪是非常困難的；不過事實證明牛頓做得很好。牛頓為此當上了太平紳士。
1705年，牛頓被安妮女王封為爵士。
牛頓在1670年代寫了很多處理聖經的文字解釋的宗教小冊子。亨利·摩爾的宇宙信仰和拒絕笛卡兒二元論影響了牛頓的宗教觀念。在他發給約翰·洛克的一個從未發表的手稿中，他爭議了三位一體的存在性。
1727年3月31日（格蘭歷），偉大的艾薩克·牛頓逝世，與很多傑出的英國人一樣被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上鐫刻著：讓人們歡呼這樣一位多麼偉大的人類榮耀曾經在世界上存在。
當西元1727年牛頓以85歲的高齡過世時，英國人將他葬於西敏寺。西敏寺的前身是一個修道院，1579年，英國女王伊麗莎白一世將西敏寺改為學院，校長由英國君主任命。西敏寺的正式名稱因此改為「威斯敏斯特聖彼得學院教堂」，其後三個世紀，西敏寺成為牛津與劍橋之後的第三所英國高等學府。詩人亞歷山大·波普(Alexa
de
Pope）為牛頓寫下了以下這段墓志銘：Natu
ea
dNatu
e'lawlayhidi
ight；Godsaid，"LetNewto
be，"a
dallwaslight。自然與自然的定律，都隱藏在黑暗之中；上帝說"讓牛頓來吧！"於是，一切變為光明。
九百多年來，西敏寺除了供信徒作禮拜、祈禱、膜拜之外，也是英國慶典的重要場所。英國的社會名流無不以死後能安葬於此為榮耀。而根據統計，佔地面積達2972平方米的西敏寺（威斯敏斯特聖彼得學院教堂）內，安葬了共三千三百多人，包括很多當代的知名人士，如：達爾文、狄更斯、牛頓、丘吉爾……無數位在英國有著深遠影響的歷史人物都安息在西敏寺中，也有許多名人，本身並沒葬在這裡，卻有寫上其名字的石板子嵌在地上作為紀念。而裡頭最著名的便是牛頓，他是人類歷史上第一個獲得國葬的自然科學家。
他的墓地位於威斯敏斯特教堂正面大廳的中央，也就是中殿(
ave)那裡，墓地上方聳立著一尊牛頓的雕像，其石像倚坐在一堆書籍上，雙手沒有合十。身邊有兩位天使，還有一個巨大的地球造型以紀念他在科學上的功績。
不管牛頓的生平有過多少謎團和爭議，但這都不足以降低牛頓的影響力。1726年，伏爾泰曾說過牛頓是最偉大的人，因為「他用真理的力量統治我們的頭腦，而不是用武力奴役我們」。
事實上，如果你查閱一部科學百科全書的索引，你會發現有關牛頓和他的定律及發現的材料要比任何一位科學家都多二到三倍。萊布尼茨並不是牛頓的朋友，他們之間曾有過非常激烈的爭論。但他寫道：「從世界的開始直到牛頓生活的時代為止，對數學發展的貢獻絕大部分是牛頓做出的。」偉大的法國科學家拉普拉斯寫到：「《原理》是人類智慧的產物中最卓越的傑作。」拉格朗日經常說牛頓是有史以來最偉大的天才。
在美國學者麥克·哈特所著的《影響人類歷史進程的100名人排行榜》，牛頓名列第2位，僅次於穆罕默德。書中指出：在牛頓誕生后的數百年裡，人們的生活方式發現了翻天覆地的變化，而這些變化大都是基於牛頓的理論和發現。在過去500年裡，隨著現代科學的興起，大多數人的日常生活發生了革命性的變化。同1500年前的人相比，我們穿著不同，飲食不同，工作不同，更與他們不同的是我們還有大量的閑暇時間。科學發現不僅帶來技術上和經濟上的革命，它還完全改變了政治、宗教思想、藝術和哲學。
2003年，英國廣播公司在一次全球性的評選最偉大的英國人活動當中，牛頓被評為最偉大的英國人之首。在《偉大的英國人》系列紀錄片中專門編輯了牛頓專集的歷史學家特里斯特拉姆·亨特表示：「全球的公眾意識到牛頓的成就是世界性的，而且對全人類都產生影響。這些投票者顯然都跨越了國界，他對於牛頓的一馬當先感到高興。」
1679年，牛頓重新回到力學的研究中：引力及其對行星軌道的作用、開普勒的行星運動定律、與胡克和弗拉姆斯蒂德在力學上的討論。他將自己的成果歸結在《物體在軌道中之運動》（1684年）一書中，該書中包含有初步的、後來在《原理》中形成的運動定律。
《自然哲學的數學原理》（現常簡稱作《原理》）在埃德蒙·哈雷的鼓勵和支持下出版於1687年7月5日。該書中牛頓闡述了其後兩百年間都被視作真理的三大運動定律。牛頓使用拉丁單詞「g
avitas」（沉重）來為現今的引力（g
avity）命名，並定義了萬有引力定律。在這本書中，他還基於波義耳定律提出了首個分析測定空氣中音速的方法。
由於《原理》的成就，牛頓得到了國際性的認可，並為他贏得了一大群支持者：牛頓與其中的瑞士數學家尼古拉·法蒂奧·丟勒建立了非常親密的關係，直到1693年他們的友誼破裂。這場友誼的結束讓牛頓患上了神經衰弱。
牛頓在伽利略等人工作的基礎上進行深入研究，總結出了物體運動的三個基本定律（牛頓三定律）：
第一定律（即慣性定律）
任何一個物體在不受任何外力或受到的力平衡時（F
et=0），總保持勻速直線運動或靜止狀態，直到有作用在它上面的外力迫使它改變這種狀態為止。
第二定律
①牛頓第二定律是力的瞬時作用規律。力和加速度同時產生、同時變化、同時消逝。②F=ma是一個矢量方程，應用時應規定正方向，凡與正方向相同的力或加速度均取正值，反之取負值，一般常取加速度的方向為正方向。③根據力的獨立作用原理，用牛頓第二定律處理物體在一個平面內運動的問題時，可將物體所受各力正交分解，在兩個互相垂直的方向上分別應用牛頓第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。
牛頓第二定律的六個性質：①因果性：力是產生加速度的原因。②同體性：F合、m、a對應於同一物體。③矢量性：力和加速度都是矢量，物體加速度方向由物體所受合外力的方向決定。牛頓第二定律數學表達式∑F=ma中，等號不僅表示左右兩邊數值相等，也表示方向一致，即物體加速度方向與所受合外力方向相同。④瞬時性：當物體（質量一定）所受外力發生突然變化時，作為由力決定的加速度的大小和方向也要同時發生突變；當合外力為零時，加速度同時為零，加速度與合外力保持一一對應關係。牛頓第二定律是一個瞬時對應的規律，表明了力的瞬間效應。⑤相對性：自然界中存在著一種坐標系，在這種坐標系中，當物體不受力時將保持勻速直線運動或靜止狀態，這樣的坐標系叫慣性參照系。地面和相對於地面靜止或作勻速直線運動的物體可以看作是慣性參照系，牛頓定律只在慣性參照系中才成立。⑥獨立性：作用在物體上的各個力，都能各自獨立產生一個加速度，各個力產生的加速度的失量和等於合外力產生的加速度。
適用範圍：①只適用於低速運動的物體（與光速比速度較低）。②只適用於宏觀物體，牛頓第二定律不適用於微觀原子。③參照系應為慣性系。兩個物體之間的作用力和反作用力，在同一直線上，大小相等，方向相反。（詳見牛頓第三運動定律）
第三定律
表達式F=-F'（F表示作用力，F'表示反作用力，負號表示反作用力F'與作用力F的方向相反）
這三個非常簡單的物體運動定律，為力學奠定了堅實的基礎，並對其他學科的發展產生了巨大影響。第一定律的內容伽利略曾提出過，後來R.笛卡兒作過形式上的改進，伽利略也曾非正式地提到第二定律的內容。第三定律的內容則是牛頓在總結C·雷恩、J·沃利斯和C·惠更斯等人的結果之後得出的。
牛頓是萬有引力定律的發現者。他在1665～1666年開始考慮這個問題。萬有引力定律（Lawofu
ive
salg
avitatio
）是艾薩克·牛頓在1687年於《自然哲學的數學原理》上發表的。1679年，R·胡克在寫給他的信中提出，引力應與距離平方成反比，地球高處拋體的軌道為橢圓，假設地球有縫，拋體將回到原處，而不是像牛頓所設想的軌道是趨向地心的螺旋線。牛頓沒有回信，但採用了胡克的見解。在開普勒行星運動定律以及其他人的研究成果上，他用數學方法導出了萬有引力定律。
牛頓把地球上物體的力學和天體力學統一到一個基本的力學體系中，創立了經典力學理論體系。正確地反映了宏觀物體低速運動的宏觀運動規律，實現了自然科學的第一次大統一。這是人類對自然界認識的一次飛躍。
牛頓指出流體粘性阻力與剪切率成正比。他說：流體部分之間由於缺乏潤滑性而引起的阻力，如果其他都相同，與流體部分之間分離速度成比例。在此把符合這一規律的流體稱為牛頓流體，其中包括最常見的水和空氣，不符合這一規律的稱為非牛頓流體。
在給出平板在氣流中所受阻力時，牛頓對氣體採用粒子模型，得到阻力與攻角正弦平方成正比的結論。這個結論一般地說並不正確，但由於牛頓的權威地位，後人曾長期奉為信條。20世紀，T·卡門在總結空氣動力學的發展時曾風趣地說，牛頓使飛機晚一個世紀上天。
關於聲的速度，牛頓正確地指出，聲速與大氣壓力平方根成正比，與密度平方根成反比。但由於他把聲傳播當作等溫過程，結果與實際不符，後來P.-S.拉普拉斯從絕熱過程考慮，修正了牛頓的聲速公式。
大多數現代歷史學家都相信，牛頓與萊布尼茨獨立發展出了微積分學，並為之創造了各自獨特的符號。根據牛頓周圍的人所述，牛頓要比萊布尼茨早幾年得出他的方法，但在1693年以前他幾乎沒有發表任何內容，並直至1704年他才給出了其完整的敘述。其間，萊布尼茨已在1684年發表了他的方法的完整敘述。此外，萊布尼茨的符號和「微分法」被歐洲大陸全面地採用，在大約1820年以後，英國也採用了該方法。萊布尼茨的筆記本記錄了他的思想從初期到成熟的發展過程，而在牛頓已知的記錄中只發現了他最終的結果。牛頓聲稱他一直不願公布他的微積分學，是因為他怕被人們嘲笑。牛頓與瑞士數學家尼古拉·法蒂奧·丟勒（NicolasFatiodeDuillie
）的聯繫十分密切，後者一開始便被牛頓的引力定律所吸引。1691年，丟勒打算編寫一個新版本的牛頓《自然哲學的數學原理》，但從未完成它。一些研究牛頓的傳記作者認為他們之間的關係可能存在愛情的成分。不過，在1694年這兩個人之間的關係冷卻了下來。在那個時候，丟勒還與萊布尼茨交換了幾封信件。
在1699年初，皇家學會（牛頓也是其中的一員）的其他成員們指控萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，爭論在1711年全面爆發了。牛頓所在的英國皇家學會宣布，一項調查表明了牛頓才是真正的發現者，而萊布尼茨被斥為騙子。但在後來，發現該調查評論萊布尼茨的結語是由牛頓本人書寫，因此該調查遭到了質疑。這導致了激烈的牛頓與萊布尼茨的微積分學論戰，並破壞了牛頓與萊布尼茨的生活，直到後者在1716年逝世。這場爭論在英國和歐洲大陸的數學家間劃出了一道鴻溝，並可能阻礙了英國數學至少一個世紀的發展。
牛頓的一項被廣泛認可的成就是廣義二項式定理，它適用於任何冪。他發現了牛頓恆等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變數的三次多項式），為有限差理論作出了重大貢獻，並首次使用了分式指數和坐標幾何學得到丟番圖方程的解。他用對數趨近了調和級數的部分和（這是歐拉求和公式的一個先驅），並首次有把握地使用冪級數和反轉（
eve
t）冪級數。他還發現了π的一個新公式。
他在1669年被授予盧卡斯數學教授席位。在那一天以前，劍橋或牛津的所有成員都是經過任命的聖公會牧師。不過，盧卡斯教授之職的條件要求其持有者不得活躍於教堂（大概是如此可讓持有者把更多時間用於科學研究上）。牛頓認為應免除他擔任神職工作的條件，這需要查理二世的許可，後者接受了牛頓的意見。這樣避免了牛頓的宗教觀點與聖公會信仰之間的衝突。
17世紀以來，原有的幾何和代數已難以解決當時生產和自然科學所提出的許多新問題，例如：如何求出物體的瞬時速度與加速度？如何求曲線的切線及曲線長度（行星路程）、矢徑掃過的面積、極大極小值（如近日點、遠日點、最大射程等）、體積、重心、引力等等；儘管牛頓以前已有對數、解析幾何、無窮級數等成就，但還不能圓滿或普遍地解決這些問題。當時笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》對牛頓的影響最大。牛頓將古希臘以來求解無窮小問題的種種特殊方法統一為兩類演算法：正流數術（微分）和反流數術（積分），反映在1669年的《運用無限多項方程》、1671年的《流數術與無窮級數》、1676年的《曲線求積術》三篇論文和《原理》一書中，以及被保存下來的1666年10月他寫的在朋友們中間傳閱的一篇手稿《論流數》中。所謂「流量」就是隨時間而變化的自變數如x、y、s、u等，「流數」就是流量的改變速度即變化率，寫作等。他說的「差率」「變率」就是微分。與此同時，他還在1676年首次公布了他發明的二項式展開定理。牛頓利用它還發現了其他無窮級數，並用來計算面積、積分、解方程等等。1684年萊布尼茲從對曲線的切線研究中引入了和拉長的S作為微積分符號，從此牛頓創立的微積分學在大陸各國迅速推廣。
微積分的出現，成了數學發展中除幾何與代數以外的另一重要分支——數學分析（牛頓稱之為「藉助於無限多項方程的分析」），並進一步進進發展為微分幾何、微分方程、變分法等等，這些又反過來促進了理論物理學的發展。例如瑞士J.伯努利曾徵求最速降落曲線的解答，這是變分法的最初始問題，半年內全歐數學家無人能解答。1697年，一天牛頓偶然聽說此事，當天晚上一舉解出，並匿名刊登在《哲學學報》上。伯努利驚異地說：「從這鋒利的爪中我認出了雄獅」。
微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯繫的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的結論加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的演算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關係，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開闢了數學上的一個新紀元。
牛頓沒有及時發表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所採取的表達形式更加合理，而且關於微積分的著作出版時間也比牛頓早。
在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的「流數術」中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。
1707年，牛頓的代數講義經整理后出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數基礎及其（通過解方程）在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如：他得出了方程的根與其判別式之間的關係，指出可以利用方程係數確定方程根之冪的和數，即「牛頓冪和公式」。
牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓（或稱曲線圓）概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。並將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，於1704年發表。此外，他的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。
牛頓在前人工作的基礎上，提出「流數（fluxio
）法」，建立了二項式定理，並和G.W.萊布尼茨幾乎同時創立了微積分學，得出了導數、積分的概念和運演算法則，闡明了求導數和求積分是互逆的兩種運算，為數學的發展開闢了一個新紀元。
二項式定理
在一六六五年，剛好二十二歲的牛頓發現了二項式定理，這對於微積分的充分發展是必不可少的一步。二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，以及差分法中有廣泛的應用。
二項式級數展開式是研究級數論、函數論、數學分析、方程理論的有力工具。在今天我們會發覺這個方法只適用於
是正整數，當
是正整數1，2，3，.......，級數終止在正好是
+1項。如果
不是正整數，級數就不會終止，這個方法就不適用了。但是我們要知道那時，萊布尼茨在一六九四年才引進函數這個詞，在微積分早期階段，研究超越函數時用它們的級來處理是所用方法中最有成效的。
牛頓曾致力於顏色的現象和光的本性的研究。1666年，他用三稜鏡研究日光，得出結論：白光是由不同顏色（即不同波長）的光混合而成的，不同波長的光有不同的折射率。在可見光中，紅光波長最長，折射率最小；紫光波長最短，折射率最大。牛頓的這一重要發現成為光譜分析的基礎，揭示了光色的秘密。牛頓還曾把一個磨得很精、曲率半徑較大的凸透鏡的凸面，壓在一個十分光潔的平面玻璃上，在白光照射下可看到，中心的接觸點是一個暗點，周圍則是明暗相間的同心圓圈。後人把這一現象稱為「牛頓環」。他創立了光的「微粒說」，從一個側面反映了光的運動性質，但牛頓對光的「波動說」並不持反對態度。
從1670年到1672年，牛頓負責講授光學。在此期間，他研究了光的折射，表明稜鏡可以將白光發散為彩色光譜，而透鏡和第二個稜鏡可以將彩色光譜重組為白光。他還通過分離出單色的光束，並將其照射到不同的物體上的實驗，發現了色光不會改變自身的性質。牛頓還注意到，無論是反射、散射或發射，色光都會保持同樣的顏色。因此，我們觀察到的顏色是物體與特定有色光相合的結果，而不是物體產生顏色的結果。
從這項工作中，他得出了如下結論：任何折光式望遠鏡都會受到光散射成不同顏色的影響，並因此發明了反射式望遠鏡（現稱作牛頓望遠鏡）來迴避這個問題。他自己打磨鏡片，使用牛頓環來檢驗鏡片的光學品質，製造出了優於折光式望遠鏡的儀器，而這都主要歸功於其大直徑的鏡片。1671年，他在皇家學會上展示了自己的反射式望遠鏡。皇家學會的興趣鼓勵了牛頓發表他關於色彩的筆記，這在後來擴大為《光學》（Opticks）一書。但當羅伯特·胡克批評了牛頓的某些觀點后，牛頓對其很不滿並退出了辯論會。兩人自此以後成為了敵人，這一直持續到胡克去世。
牛頓認為光是由粒子或微粒組成的，並會因加速通過光密介質而折射，但他也不得不將它們與波聯繫起來，以解釋光的衍射現象。而其後世的物理學家們則更加偏愛以純粹的光波來解釋衍射現象。現代的量子力學、光子以及波粒二象性的思想與牛頓對光的理解只有很小的相同點。
1704年，牛頓著成《光學》，系統闡述他在光學方面的研究成果，其中他詳述了光的粒子理論。他認為光是由非常微小的微粒組成的，而普通物質是由較粗微粒組成，並推測如果通過某種鍊金術的轉化「難道物質和光不能互相轉變嗎？物質不可能由進入其結構中的光粒子得到主要的動力（Activity）嗎？牛頓還使用玻璃球製造了原始形式的摩擦靜電發電機。
在1675年的著作《解釋光屬性的解說》（HypothesisExplai
i
gtheP
ope
tiesofLight）中，牛頓假定了以太的存在，認為粒子間力的傳遞是透過以太進行的。不過牛頓在與神智學家亨利·莫爾（He
yMo
e）接觸后重新燃起了對鍊金術的興趣，並改用源於漢密斯神智學（He
metici）中粒子相吸互斥思想的神秘力量來解釋，替換了先前假設以太存在的看法。擁有許多牛頓鍊金術著作的經濟學大師約翰·梅納德·凱恩斯曾說：「牛頓不是理性時代的第一人，他是最後的一位鍊金術士。」但牛頓對鍊金術的興趣卻與他對科學的貢獻息息相關，而且在那個時代鍊金術與科學也還沒有明確的區別。如果他沒有依靠神秘學思想來解釋穿過真空的超距作用，他可能也不會發展出他的引力理論。