第4節

從歐幾里得（2200年前）以來，數學家一般都是從某些稱為「公理」的陳述出發，推導出各種有用的結論。

從某種意義上說，這幾乎就像是一種必須遵守兩條規則的遊戲。第一，公理應當盡量少。如果你能從某一條公理推導出另一條公理，所么，所推導出的那條公理就不能作為公理。

第二，公理必須是沒有內在矛盾的。絕不允許從某一公理推導出兩個相互矛盾的結論。

任何一本中學幾何課本都要先列出一組公理：通過兩點只能作一條直線；整體等於各個部分之和，等等。在很長一段時間內，人們都把歐幾里得的公理看作是唯一可用來建立沒有內在矛盾的幾何學的公理，從而把這些公理看作是「真公理」。

但是，到了十九世紀，有人證明了歐幾里得的公理是可以用某些方式來加以改變的，因而可以建立另外一種不同的幾何學，即「非歐幾里得幾何學」。這兩種幾何學雖然各不相同，但每一種幾何學都不具有內在矛盾。從此以後，人們如果要問哪一種幾何學是真幾何學，就沒有意義了。如果要問，就只能問哪一種幾何學更有用些。

事實上，我們可以用許多組公理來建立幾種各不相同但又各自並不具有內在矛盾的數學體系。

在任何一種這樣的數學體系中，你都必定不可能根據它的公理推導出既是如此又非如此的結論，因為如果這樣的話，這個數學體系就不可能不具有內在矛盾，就會遭到淘汰。

但是，倘若你能做出一種陳述，並且發現你不能證明它既是如此又非如此的話，又將怎麼樣呢？

假如我說：「我現在所說的是假話」。

是假話嗎？如果是假話，那麼，我在說假話這件事就是假的了，因此，我必定在說真話。如果我在說真話，那麼我在說假話這件事就是真的了，因此，我確實在說假話。我可以永無休止地來回這樣說，結果，將永遠無法證明我所說的到底是如此，還是並非如此。

假如你能對這些邏輯公理進行調整，以排除上面所說的這種可能性，那麼，你能不能找到另外的方法來做出這樣一種既是如此，又非如此的說法？

1931年，一位奧地利數學家戈德爾終於提出一個有力的證明，他指出，對於任何一組公理，你都能做出既不能根據這些公理來證明事實確是如此，也不能根據這些公理來證明事實確非如此的說法。從這個意義上講，任何人都不可能建立出一種可以憑此推導出一個完美無缺的數學體系的公理。

這是不是意味著我們永遠不可能找到「真理」呢？當然不是的。

第一，因為一種數學體系不完美，並不意味著它所包含的東西是「假的」。如果我們不想超出這樣的數學體系的限度來應用它，它就仍然是極其有用的。

第二，戈德爾證明只適用於數學中所應用的那幾種演繹體系。但是演繹並不是發現「真理」的唯一辦法。任何公理都不能幫助我們去推導出太陽系的大小。太陽系的大小是通過觀察和測量而得出的——觀測是得到「真理」的另一途徑。