六十四 黎明猜想

1921年，21歲的泡利在其名著《相對論》[5]的開篇「歷史背景(洛倫茲、龐加萊、愛因斯坦)」中這樣說：

「現在我們來討論洛倫茲、龐加萊和愛因斯坦的貢獻，它們包含了構成相對論基礎的推理線索和發展過程。從時間上說，洛倫茲是第一個，他證明了無源麥克斯韋方程組在下列坐標變換下的協變性：

(註：這裡的l是v的函數l(v))……我們應該強調指出，相對性原理，對於洛倫茲來說是陌生的。洛倫茲工作留下的一些不足，由龐加萊補上了。龐加萊聲明，相對性原理是普適且嚴格有效的。……他進一步糾正了在有電荷密度和電流存在情況下洛倫茲公式的錯誤，從而得到了有源麥克斯韋方程組的完全協變性。……最終，正是愛因斯坦，他完成了這個新領域的基本理論構造……他1905年的文章不僅包含了前面兩人的主要結果，而且展示了對整個問題全新的、深刻得多的理解。」1955年，為紀念相對論誕生50周年，此時已55歲的泡利寫了一篇《相對論與科學》的小文章[6]，其中他這樣說：

「狹義相對論與數學中群的概念密切相關，若說在伽利略和牛頓的力學中只是初見端倪，那麼現在已被實驗事實牢固確立起來了。……19世紀電動力學的發展以麥克斯韋和洛倫茲的一組偏微分方程組而告終。很顯然，這組方程不具備以前經典力學群的對稱性……。現在的問題是：自然定律具有群的對稱性這一說法，只是近似成立的性質而必須拋棄呢，還是經典力學的群或許只是近似有效，而應該被一個更普遍的群所替代，它同時對經典力學和電動力學都成立？最終的決定傾向於第二種選擇。這個假設可由兩條路徑來達到。一條是用純數學的方法，考察什麼是麥克斯韋—洛倫茲方程組協變性所滿足的最一般的變換群，這是數學家龐加萊的途徑。另一條是通過批判性分析，來確定那些導致伽利略和牛頓力學所採用的那種特殊群的物理假定，這是愛因斯坦的途徑。……愛因斯坦和龐加萊的結果都基於洛倫茲的前期工作，他已經相當接近但未真正達到最後結果。從愛因斯坦和龐加萊各自獨立的殊途同歸，我體認到了數學方法與(基於物理經驗基本特徵的)思想實驗(Gedankenexperimente)之間和諧的更深層次意義。」

比較上面兩段泡利在21歲和55歲時，對同一事件所寫下的不同評價很重要，至少值得注意。很顯然，之前他將龐加萊與洛倫茲並列，而突出愛因斯坦的貢獻；之後他將龐加萊與愛因斯坦並列，指出他們倆都基於洛倫茲的前期工作，但從兩條不同的途徑，殊途同歸地達到了狹義相對論(圖3)。愛因斯坦的狹義相對論已廣為人知，而龐加萊的狹義相對論卻鮮為人知。甚至在公眾認知領域給人們留下了一個錯覺，即沒有愛因斯坦，就沒有狹義相對論的誕生。這顯然與歷史事實不符。因此，讓更多人了解龐加萊的狹義相對論就顯得很有必要。

一個不得不問的問題是：如果龐加萊真的對狹義相對論做出了這麼大貢獻，那他的名字怎麼可能會在如此眾多的涉及相對論的現代教科書和專著中消失得無影無蹤呢？顯然，除了介紹龐加萊的狹義相對論，筆者還必須回答這個無法迴避的問題。造成這一世紀級現象的原因貌似千頭萬緒、錯綜複雜，實際上卻也簡單到用一句話就可完全概括：事實上，不是歷史對龐加萊開了一個玩笑，

恰恰相反，是龐加萊對歷史開了一個玩笑！接下來，我們將儘可能把整個故事的輪廓梳理清楚，通過龐加萊所開的一個個生動「玩笑」，一起領略他做學問的獨特方式和他的科學哲學，一起景仰他的高貴人品。

龐加萊有關相對論的第一篇文章於1905年6月5日發表，一個月之後的7月23日又投寄了第二篇文章(圖4)[7](愛因斯坦的三篇狹義相對論文章分別投寄於1905年6月30日、9月27日和1906年5月17日)，其中第一篇可以看成是第二篇的詳細摘要或總結，我們接下來以《六月文章》和《七月文章》分別稱之。龐加萊對歷史開的第一個「玩笑」出現在這兩篇文章的引言中。以後我們還會看到，這並不是龐加萊第一次也不是唯一的一次這麼做。因為他覺得自己的這項工作是直接受到洛倫茲1904年文章啟發而開展的，所以直至生命的終點，他都始終將狹義相對論的主要榮譽(credit)歸功於洛倫茲，哪怕一些完全是他自己原創的想法和貢獻也毫不例外，幾乎全部算到洛倫茲頭上。不得不說，這「玩笑」確實開得太大了，因為它給後人留下了極大的錯覺，似乎龐加萊在物理上沒有提出什麼新東西，只是在數學上提供了一些細節。不止於此，更糟的是，龐加萊與洛倫茲在許多關鍵點上的想法實際上很不一樣，甚至恰恰相反，比如，如何看待相對性原理、局域時間、以太等多個重要物理概念，而從今天的角度看，龐加萊是對的，洛倫茲是錯的，但因為龐加萊過世較早(1912年)，而洛倫茲又是一個極其坦誠且從不羞於承認自己錯誤的人，所以我們今天所熟知的洛倫茲在相對論上的一些錯誤認識，反而都被後人轉嫁到了龐加萊頭上。這麼一來，本來極其簡單而清晰的歷史問題，頓時變得千頭萬緒、錯綜複雜。公平地說，這個「玩笑」絕不是歷史對龐加萊開的，而恰恰是他自己對歷史開的。

下面，我們來具體看看龐加萊的引言是如何寫的。在《六月文章》的引言中，他首先闡明一個實驗事實：所有試圖測量地球相對於以太運動的實驗(包括邁克耳孫實驗)都以失敗而告終；接著他說：

「不可能從實驗上揭示地球的絕對運動似乎應該是大自然的一條普適定律。……洛倫茲嘗試補充和修改之前所作的假定，用以解釋這種不可能性，並在他1904年《小於光速的動系電磁現象》文章中獲得成功[8]。這個問題的重要性促使我再一次回過頭來考慮它；我這裡所得的結果，在所有主要點上都與洛倫茲的結果相吻合，我只是嘗試著稍作改進，並提供一些細節。」「這些(與洛倫茲結果的)差別又都不太重要(minorimportance)，接下來會在後面的章節中加以展示。」(註：后一句話為《七月文章》所加)

不知讀者看到上面加黑的句子是什麼感覺，筆者每次讀到這裡總禁不住感慨萬千！試想：假如我們今天的學術論文引言這樣寫，而且還想在國際主要學術期刊，比如《物理評論通訊》(PRL)上發表，哪有一個編輯會送審呢？這不是成心與自己過意不去嘛！且慢，這還不是最搞笑的，下面這兩段才真叫人啼笑皆非：

「洛倫茲的基本想法在於，電磁場的方程組在(1)式的變換(我把它稱作洛倫茲變換)下，將保持不變。」(《六月文章》)

「洛倫茲的概念，因此可以這樣總結：如果賦予整個系統一個共同的平移運動而可觀察現象沒有任何變化，那就說明，電磁場的方程在某個變換(我們稱之為洛倫茲變換)下是不變的。如此一來，這兩個系統，其中一個不動，另一個作平移運動，將互為完全相同的影像(exactimagesofeachother)」(《七月文章》)

事實上，在龐加萊之前，洛倫茲從來沒有這樣的想法，也從來沒有這樣的概念，更沒有如此說過！在這裡，龐加萊完全是將自己的原創性想法歸功於洛倫茲！對龐加萊而言，這並不是一時興起的偶爾為之，他始終對啟發自己想法的人心懷感激，之後總會在各種場合以各種方式加以強調；反過來，為自己去力爭優先權，對龐加萊而言卻是完全陌生的。好在洛倫茲也是一個對個人優先權毫不在乎的真正謙謙君子，他在《龐加萊的兩篇數學物理文章》[9]中如此實話實說：

「(龐加萊《七月文章》的)公式(4)和(7)在我的1904年文章中是沒有的，我甚至不知道存在一種直接的路徑導出它們，因為我認為(x，y，z，t)和(x′，y′，z′，t′)這兩個參照系存在本質差別。這是我當時的思路：其中一個參照系的坐標軸是固定在以太中的，那裡有真實的時間；而在另一個參照系中，恰恰相反，我們只涉及(dealwith)一些為數學技巧而引進的輔助量。……因此，比如變數t′不能被看作是與變數t相同意義上的時間。在這樣的考慮下，我完全沒有意願按(x，y，z，t)參照系中描述現象的方式去描述(x′，y′，z′，t′)參照系中的現象。……我沒能證明麥克斯韋方程組的完全協變性；我的公式中還存留了一些本應消失的累贅項，只是它們在數量上很小而不會影響現象，我就是據此來解釋地球的運動不會影響實驗的觀察，但是我沒有建立起作為嚴格而普適真理的相對性原理。恰好相反，龐加萊證明了電動力學方程的完全協變性，並準確表達了「相對性假定」——一個由他引入的術語。事實是，正是採用了我沒能想到的觀點，他導出了公式(4)和公式(7)。還應該補充一點，在糾正我工作中的那些缺陷時，他從未有過任何對我的責備。」

龐加萊的第二個「玩笑」，開在對《七月文章》正文的章節安排上。《七月文章》除引言外還有9個帶標題的小節，其中，他竟然把自己在相對論中最重要、影響最深遠、也最能體現他遠超洛倫茲的原創貢獻，放在第4節而不是第1節，並且冠以「4.洛倫茲群」的標題。前三節的標題分別是「1.洛倫茲變換」，「2.最小作用量原理」，「3.洛倫茲變換與最小作用量原理」；只要細心研讀過《六月文章》和《七月文章》的人，一定不難發現，龐加萊如此安排的唯一目的，就是為了突出洛倫茲的功績，而不想以自己的工作來喧賓奪主。從今天的角度回頭看，這個「玩笑」開得太大、後果太嚴重了。因為李群和李代數對當時的大多數學家而言，也是新鮮且抽象的理論，對當年的物理學家來說，當然實在太超前、太高深了，幾乎無人能懂，所以如果放在第1節，至少能讓人知道這是全文的基礎，引起人們的重視；但現在放在了第4節，確實與第3節和第5節的內容上下不搭，除了知道洛倫茲變換構成一個群外，別的似乎都是一些不知所云的數學細節；無疑，這種「奇怪的」章節安排，客觀上確實嚴重阻礙了龐加萊的相對論在物理學界的傳播。否則，他對狹義相對論的原創性貢獻，無論如何也不會被同代和後代人誤讀。另外，因為略去了太多具體數學推導和物理文字說明，以至於半個世紀之後，當龐加萊法文的《七月文章》被翻譯成英文時，還發生了譯者面對整個第4節中最重要的一句話——「我們也可以用另一種方式產生這個群(Nouspouvonsengendernotregroupsd』uneautremanière)」，一定完全不知所云，竟然乾脆刪去不譯的尷尬局面

關於「洛倫茲群」的重要性，大概沒有比愛因斯坦1950年為《科學美國人》所寫《論引力的廣義理論》(Onthegeneralizedtheoryof)中的這一段話講得更透徹、更深刻的了：

「麥克斯韋方程組暗示(imply)了洛倫茲群，但洛倫茲群並不暗示麥克斯韋方程組。洛倫茲群也許確實可以獨立於麥克斯韋方程組，而被定義成這樣一組線性變換，它確保一個特殊的速度——光速——不變。這一組變換適用於從一個「慣性系」到另一個與之勻速運動的「慣性系」的轉變。這個變換群最引人注目的新奇特性在於，空間上異地事件的同時性概念消失了。這樣，所有的物理學方程在洛倫茲變換下協變就順理成章了(狹義相對論)。事情就是這樣，麥克斯韋方程組導致了一個啟發性原理(heuristicprinciple)，它的有效性遠遠超出了方程組本身之應用甚至成立範圍。」

鑒於洛倫茲群對整個基礎物理學的極端重要性，或許將第4節原文——難得一見的科學藝術品——直接附上會受到讀者的歡迎(圖5)。

雖然沃伊特(Voigt)在1887年、拉莫爾(Larmor)在1900年都分別得到過類似於(1)式的變換式，但確實是洛倫茲1904年的結果，直接催生了龐加萊狹義相對論的誕生。無論是Voigt、Larmor還是洛倫茲，在得到他們的變換式時，具體思路可能各不相同，但一個共同的特點是，全都採用了特設(adhoc)方式。作為大數學家和大數學物理學家，龐加萊顯然比任何人都明白，如此重要的變換式必定存在一個更本質的原理式基礎，而這正是他在《七月文章》「4.洛倫茲群」這一節成功奠定的。簡而言之，他是通過歸納的一步和演繹的一步達到了這一目的，讓洛倫茲變換式(1)從此擺脫了特設的歷史，正式建立在堅實的原理之上，進而一舉奠定整個狹義相對論的數學和物理基礎。值得強調，龐加萊的這兩步——歸納與演繹——事實上正是對應了上述愛因斯坦的兩句話「麥克斯韋方程組暗示了洛倫茲群，但洛倫茲群並不暗示麥克斯韋方程組。

百年之後回頭看，或許最重要的是，龐加萊第一個清醒地認識到，時間與空間(x，y，z，ict)(第9節上明確給出)一同構成一個四維時空，兩個慣性參照系之間的所謂洛倫茲變換，只不過是在這一四維時空中，保持間隔x2+y2+z2-(ct)2或微分間隔dx2+dy2+dz2-(cdt)2(第9節上明確給出)不變的一個線性變換，即簡單的一個四維時空坐標軸轉動。(講到這裡，我們不得不提一句：此時(1905年)還沒閔可夫斯基什麼事，那都是三年以後(1908年)的事了，之後會詳細討論。)在對洛倫茲變換的數學結構建立了如此清晰的幾何圖像之後，人們熟知的那些狹義相對論的運動學基本結論，比如，「同時性的相對性」、「時間膨脹」、「長度收縮」等等，對於龐加萊而言，簡直就是小菜一碟，《七月文章》當然明確地給出了這三個公式。

接下來，讓我們看看龐加萊歸納的一步。值得指出，龐加萊在《七月文章》第1節的開頭就明確說：「我將這樣選擇長度和時間的單位，使得光速為1」，多麼現代啊！因為整篇文章主要就是討論慣性系之間各種物理量的相互變換，所以這句話當然就是明確而直接地宣告，光速是不依賴所在慣性系的一個常數；事實上，正是在他1898年《時間的測量》一文中，龐加萊第一個清楚地意識到，光速不變應該被假定為一個公設。除了取光速c=1，他還取了電子靜質量m0=1；這樣一來，在這篇文章里，普通讀者就千萬別指望能找到那些似曾相識的狹義相對論公式了，因為它們早已面目全非！正是考慮到這一點，也是為了讓龐加萊更接地氣，我們接下來會將他的公式都換成當今教科書上的標準單位制。

龐加萊證明：以特設方式得到的洛倫茲變換式(1)構成了一個群；事實上，他也只證了關鍵一環，即群的封閉性(其餘的太顯然了！)。雖然從今天的角度看，這個貢獻似乎不值一提，因為基礎稍好的本科生就能做到，但在當時，世界上恐怕還真沒幾個人明白龐加萊究竟在幹什麼，因為對於物理學家來說，不僅群論是陌生的，而且全新的速度相加公式(今天被稱為愛因斯坦速度相加公式)更是聞所未聞(他在第1節中，只用一行數學推導就嚴格證明了)。有點諷刺的是，這個在現代教科書上常常被認為「很相對論」的重要公式，龐加萊連個公式編號都沒給。

龐加萊進一步闡明，洛倫茲變換式(1)構成的群是一個叫李群(Liegroup)的連續群。李群有一個重要特性：整個群的性質可以由不變元附近的群元性質完全確定，即SophusLie發展起來的無窮小生成元概念。這就是接下來龐加萊為什麼要取l=1，又假設δv/c?1為無窮小，從而將(1)式轉換成在不變元(v=0)附近的變換式(2)來展開討論的道理：

他指出，這個變換對應於李代數中的

相當於沿垂直於x-t平面的一個無窮小定軸轉動。另一方面，從純數學的角度看，也可以取v=0，同時讓l有一個無窮小變化l=1+δl，這樣

對應於李代數中的相當於(x，y，z，t)的標度變化。類似地，還有y和z軸上的洛倫茲變換對應的T2和T3，它們也會讓麥克斯韋—洛倫茲方程保持協變性。另外，根據李代數，T1和T2的組合：則代表了沿z軸的空間轉動，顯然這也會保持麥克斯韋—洛倫茲方程的協變性(因為方程不依賴於坐標軸的選取)。類似地，也還有x和y軸上的空間轉動[T2，T3]，[T3，T1]。

龐加萊據此總結到：我們把這裡考慮的連續群稱為洛倫茲群，它共有如下無窮小生成變換：

(1)標度變換T0，它與所有變換對易；

(2)時空轉動(boost)T1，T2，T3；

(3)三個空間轉動[T1，T2]，[T2，T3]，[T3，T1]。

因此，「屬於這個洛倫茲群的任意變換，都可以分解成具有形式的標度變換和保持四維間隔

不變的一個線性變換。」

至此，龐加菜從特設洛倫茲變換式(1)出發，通過不變元附近的無窮小群元分析，釐清了整體洛倫茲群的性質。最重要的是，他將兩個慣性系之間的洛倫茲變換，幾何化成在(x，y，z，ict)的四維時空中，保持四維間隔s2=x2+y2+z2-(ct)2不變的一個線性變換。換句話說，它相當於一個具有共同原點的兩個四維時空坐標軸之間的轉動(第9節中明確說了)。當然，這僅僅是歸納的一步，下面是演繹的一步。

雖然為了突出洛倫茲而不想喧賓奪主，但龐加萊是一個真正的科學家，追求真理永遠是擺在第一位的；對那些實際上已經超越了洛倫茲的新結果，他無法掩著不說出來。定性的，或許可以放在洛倫茲名下講出來，如我們在他的第一個「玩笑」中所見；但定量的，這種做法肯定不行，那就只能不動聲色地低調加以敘述，以下這個只有兩句話的自然段落便是：

「我們也可以用另一種方式產生這個群。這個群中的任一變換都可看成是先作一個如下形式的變換，接著再作一個合適的空間轉動所構成。」

請注意，如此惜墨如金的龐加萊(讀者不妨嘗試在原文第4節中去掉任一式子，看看文章是否還成立？)，在這裡不僅完全重複地抄了一遍這一節開頭的第一個公式(洛倫茲特設公式)，而且還竟然給了這裡的公式(3)(而不是之前的特設公式)一個編號，這實在太耐人尋味了！常言道，經典值得反覆閱讀；或許我們可以再補充一句，龐加萊的文章更是如此。正是在這裡，龐加萊提示了我們，他所說的「另一種方式」究竟是什麼。同為大數學家的龐加萊，對於大師高斯的名言：「當一幢建築物完成時，應該把腳手架拆除乾淨」一定不陌生，但他在這裡恰恰反其道而行之，「腳手架」幾乎被原封不動地保留了下來，這才使我們比較有把握地復原他所說的「另一種方式」。

事實上，這一節從頭開始，直到發現四維時空不變數為止的整個內容，完全可以看作是龐加萊在得知洛倫茲1904年特設變換式(1)后，自己頭腦中的思考過程。當他寫下「洛倫茲群的任一變換，……保持x2+y2+z2-(ct)2不變的一個線性變換」時，作為數學大家的龐加萊，心裡一定完全清楚，整個問題已經解決，剩下的只是一些細節了(具體內容會在下一篇文章中詳細給出)。貌似神奇的洛倫茲變換——這個狹義相對論中至關重要的關係式，只不過是(x，y，z，ict)這個特殊四維時—空的一個幾何性質，它不僅不是電動力學的結果，而且也不局限於電動力學，它理應被推廣到經典力學以及引力等一切其他問題上。這恰恰就是龐加萊在《七月文章》後面章節所做的事，比如，在歷史上首次成功地將電子的牛頓運動方程，推廣到我們今天熟知的四維相對論性運動方程(愛因斯坦沒能做到)，明確提出引力的相互作用以光速傳播等重要物理思想。

值得強調，從四維時空的幾何學觀點來審視洛倫茲變換，能一下子抓住狹義相對論的本質。頗具諷刺意味的是，「相對論」常常被誤解成關於「萬事萬物皆相對」的某種理論；事實恰恰相反，從本質上說，狹義相對論探討的核心問題是：面對一切相對運動的慣性系，什麼才是絕對和不變的東西？用幾何學的語言來說就變成：彼此勻速直線運動的慣性系，對應了四維時空中原點重合的坐標軸之間的轉動，而這樣的坐標軸轉動，當然不會改變任一指定時空點到原點的間隔，即s2=x2+y2+z2-(ct)2=x′2+y′2+z′2-(ct′)2是一個不變數。換句話說，物理上結合了光速不變原理的相對性原理，在數學上就等價於：保持間隔s2=x2+y2+z2-(ct)2或微分間隔ds2=dx2+dy2+dz2-(cdt)2不變的四維時空坐標軸轉動。在這樣的圖像下，「用另一種方式產生這個群」其實已經比較清晰，只要將龐加萊在這一節中所寫的內容「首尾顛倒」就行了。換句話說，即從數學的四維時空不變數出發，先對v/c?1的經典伽利略變換加以改造，然後利用標準的李群無窮小生成元方法，便可乾淨徹底地導出洛倫茲變換式(3)——這個龐加萊重複抄寫並給了公式編號的式子。

正如泡利所說，19世紀末，龐加萊與他的同時代人都非常清楚，麥克斯韋—洛倫茲方程對伽利略變換不協變，這等於說：四維時空不變數

只有在v=0時才成立(請自行驗證)。因此，對於第一個提出並始終堅持相對性原理的龐加萊而言，顯然伽利略變換必須被改造。在無窮小速度情況下，伽利略變換應該如何改造，龐加萊在前面對洛倫茲變換式(1)作l=1，δv/c?1展開時，實際上已經得到式(2)的答案了。因此，現在要做的無非是，從數學上嚴格證明(而不是直接使用)這個式子。為此，只要對伽利略變換作如下改造：這裡δv表示無窮小速度，a是待定係數，通過四維時空不變數

易證：a=-1/c2，公式(2)因此得證。因為這裡只涉及x和t而不涉及y和z的變換，所以為了書寫方便，我們暫時先用二維形式進行推導，最後再將y和z補上。

上述變換用矩陣的方式可以寫成，其中從(4)式出發，累積N次同樣的無窮小速度變換，以產生一個有限速度的變換，以ρ=Nδv/c來標識，則

當N→∞時，因此，在有限速度下的洛倫茲變換變成：

因為在t=t′=0時，兩個坐標軸原點重疊，所以在不帶撇系的t時刻，帶撇系的原點在兩系中的位置分別是：x′=0，x=vt，代入上式，得或這樣最後上面的數學推導通常被稱作「無窮小速度—指數化—生成元技巧」((theinfinitesimalvelocity--generatortechnique)，屬於物理類本科生數理方法的基本內容[12]。現在，若將y=y′和z=z′補上，再由T0將變換式從l=1推廣到l≠1(標度變換)，我們便完整地復原出了龐加萊的「用另一種方式產生這個群」(變換式(3))。這就是龐加萊演繹的一步！即從四維時空不變數出發，通過改造無窮小速度下的伽利略變換，再用無窮小生成元方法，以數學的優雅乾淨徹底地導出洛倫茲1904年用特設方式得到的變換式(3)。

至此，我們解釋了龐加萊「不動聲色的」兩句話中的前一句，而事實上后一句恐怕才略顯龐加萊的大數學家英雄本色，體現了他對四維時空不變數和洛倫茲群理解的深度。無論是洛倫茲1892年第一次試圖建立慣性系間的時空變換，還是我們今天的相對論教科書，基本上都只討論從(x，t)到(x′，t′)，而保持(y，z)不變的特殊洛倫茲變換。這對於說明物理圖像確實是夠了，但從數學的一般性而言，顯然就不夠了。我們還必須考慮兩個慣性系以任意相對速度v=(vx，vy，vz)的情形。具體而言，考慮在t=t′=0時，(x，y，z)系的三個坐標軸分別與(x′，y′，z′)系三個坐標軸完全重疊的兩個慣性系，假如帶撇系以速度v=(vx，vy，vz)相對於不帶撇系運動，那麼，這兩個參照系之間的洛倫茲變換應該怎麼寫呢？儘管繁瑣，我們還是可以按部就班地證明，它形式上仍然是類似於(3)式的洛倫茲變換，只是更加複雜，因為(y，z)都相應變換了。但如果考慮最一般的情況，即在t=t′=0時，(x，y，z)系與(x′，y′，z′)系之間的坐標軸不再重疊而是互成角度，同時帶撇系以速度v=(vx，vy，vz)相對於不帶撇系運動，那麼，這兩個參照系之間的洛倫茲變換又該怎麼寫呢？不得不說，這個問題的複雜性恐怕已超出了絕大多數人的想象，不說別的，光是想一下逆變換的相互運動速度v′該怎麼寫，或許就夠折騰一陣子了，更別說完整的表達式了。龐加萊「不動聲色的」第二句話，正是用來回答這一問題的；這若無其事的一句話，在C.Moller的相對論名著TheTheoryof上，就是整整一節(§2.4「最一般的洛倫茲變換」)的內容。龐加萊的這句話事實上是提醒我們，洛倫茲變換式(最一般的)與三維空間轉動一同(而不是僅有前者，否則群元缺了很多！)構成了洛倫茲群，只有基於這樣的理解，所謂物理定律在洛倫茲群下協變的含義才真正完備。

最後，龐加萊在這一節餘下的部分中，將這個數學上完備的洛倫茲群運用到真實的物理世界中，即取l=l(v)，然後用群論的方法簡潔地證明l=1。至此，龐加萊演繹的一步完美收官，整個第4節內容也全部結束。

在對龐加萊一舉奠定狹義相對論數學結構的《七月文章》第4節做了上述詳細介紹之後，當然還應提及一下所有現代大學物理教科書中必不可少的所謂「同時性的相對性」、「時間膨脹」、「長度收縮」這三個幾乎成為相對論「標籤」的問題。事實上，這對於已經建立狹義相對論四維時空幾何圖像的龐加萊而言，可以說完全是小兒科的事了。這裡先直接給出「乾貨」，接著再稍加解釋。龐加萊在《七月文章》的第3節中明白地(explicitly)給出了「同時性的相對性」的具體表達式，即Δt=0時，，以及「長度收縮」的具體表達式，另外，第6節的公式(4)Δt′=就是「時間膨脹」的具體表達式。

對於(y，z)不變，由(x，t)變到(x′，t')這個具體的洛倫茲變換，「同時性的相對性」講的是，在不帶撇系中異地同時發生的兩個事件(x1，t)和(x2，t)，在帶撇系中則一定不同時發生，也就是說，(x′1，t′1)和(x′2，t′2)中的Δt′=t′2-t′1≠0。從相應的二維時空幾何來看，這等價於說，對於原點重合、坐標軸也分別重合的兩個二維直角坐標系，當帶撇系的坐標軸相對於不帶撇系的坐標軸，旋轉一個角度后，原先在時間軸上投影重合的兩個點(x1，t)和(x2，t)(因為Δt=0)，在旋轉的坐標系中，這兩點(x′1，t′1)和(x′2，t′2)的Δt′≠0，即在時間軸上投影不再重合，這不是太自然了嗎？對於1898年就最先意識到異地同時性問題的龐加萊，如果他在《七月文章》中沒有明確使用「同時性的相對性」這樣的表述，顯然不可能是因為他不懂，而只可能是他覺得這實在太顯然吧？

針對龐加萊《七月文章》第4節內容，筆者想再補充一點討論。值得指出，在我們用演繹方式推導出洛倫茲變換式(3)的整個過程中，只涉及到光速c，而沒有涉及作為電磁波的光本身。從這個意義上說，對狹義相對論而言，光的傳播速度常數c，比作為電磁波的光本身更基本、更重要也更具有普適意義。這一點在上述推導過程中實際上也已經顯現出來了，因為當我們從四維時空不變數x2+y2+z2-(ct)2開始推導時，這裡竟然出現了光速，難道不是有點突兀嗎？特別是，在無窮小速度下被修改的伽利略變換式(2)中，時間項中也出現了光速c，不也不太自然嗎？事實上，在引進四維時空不變數x2+y2+z2-(Ct)2時，我們並沒必要對這裡C的性質作任何規定(比如，讓它等於光速c)，只要它是一個具有速度量綱的常數就足夠了，最後所得的洛倫茲變換，除了C與c的差別，其他一模一樣。因此可以這樣說，C是與相對性原理捆綁在一起的某個速度上限常數，它可以是電磁現象中光的傳播速度c；也可以是強相互作用現象中膠子的傳播速度；當然，也可以是引力波的傳播速度。筆者很難想象，作為大數學家的龐加萊，會不注意到這裡提及的速度常數C問題，雖然當年與C相對應的唯有電磁現象中的光速c；相反，很可能的情形是，在注意到C或c的普適性超出了電磁現象和光本身後，龐加萊才會在得到了洛倫茲群之後，特別是在成功推廣牛頓第二定律之後，果斷地將洛倫茲群應用於引力問題，並正確地斷言引力作用的傳播速度為光速，還首次發明了「引力波」這個名詞，雖然這距愛因斯坦之後發展的引力波理論還相差甚遠。

另外，楊振寧先生在2005年寫下《愛因斯坦：機遇與眼光》一文，其中有一段(至少在華人圈中)流傳頗廣的話：「這就是說，洛倫茲有數學，但沒有物理學；龐加萊有哲學，但也沒有物理學。正是二十六歲的愛因斯坦質疑人類關於時間的原始觀念，堅持同時性是相對的，才能從而打開了通向微觀世界的新物理大門。」筆者猜測，楊先生可能沒有讀過龐加萊《七月文章》的原文，否則恐怕不會下這樣的結論，因為楊先生一直是將理論的數學結構之美，置於唯象理論、理論框架之上的[13]。

綜上所述，或許我們可以得到這樣的結論：假如龐加萊在《六月文章》和《七月文章》的引言中不對歷史開第一個「玩笑」，在正文的章節安排上也不開第二個「玩笑」，也就是說，他若把自己在相對論中最重要、影響最深遠、也最能體現他遠超洛倫茲的原創貢獻，放在文章開頭的第1節而不是第4節，同時，假如他沒有略去那些數學推導步驟和文字說明，那麼，歷史或說公正的後代，絕無可能忘記龐加萊在狹義相對論上的開創性和奠基性貢獻。

最後，讓我們以著名物理學家費曼在《物理定律的特徵》[14]一書中的下面這段話來結束本文，同時點明下一篇文章《龐加萊的狹義相對論之二：物理定律的對稱性》的主題：

「我如此詳細地談論這個具體例子，是因為它開啟了物理學定律的對稱性研究。正是龐加萊，他提出了可以對方程做什麼而使之不變的分析；也正是龐加萊，他主張對物理定律的對稱性給予重視。空間平移、時間延遲等對稱性並不深刻，但是，沿直線運動之均勻速度的對稱性卻非常有趣，而且產生了一系列後果。不止於此，這些後果還可以被拓展到我們未知的定律之中。」